原创 | 四年内3次带队获得IMO团体冠军，他的教学方法是……
作者 | Sunny
编辑 | Hao, Zifan, Shen
全文2968字 阅读时间约8分钟
导读
刚刚落幕的第59届国际数学奥林匹克（IMO）中，由罗博深教授带领的美国国家奥数队以总分212、五金一银的成绩获得了世界团队总分第一的成绩。罗教授作为一名出色的竞赛教练的同时，也一直战斗在小学生到研究生的数学教学工作第一线。让我们来听听他在卡内基梅隆大学的学生来讲述他上罗教授的数学课，是一种什么样的体验吧！
作者介绍：Sunny He，现卡耐基梅隆大学数学、计算机双专业学生，曾经的AMC10、AMC12、AIME、Canada/USA Mathcamp和普特南(Putnam Competition)等数学竞赛参与者。目前在CMU从事超图论(hypergraph theory)研究，罗博深数学新媒体运营实习生。
大一刚开学时，我怀着对数学竞赛多年的热情，报了一门美国大学数学竞赛课——Putnam Seminar (Putnam Competition是美国和加拿大最具声望的本科生数学竞赛)。第一次走进教室，我就从同学间嘁嘁喳喳的谈话中，感受到了一种强烈的不协调感——这里的人似乎都上过这门课，而且彼此之间都很熟悉。可是如果大家都上过这门课了，为什么还要再上一次？再者说，虽然理学院的许多人彼此认识不足为奇，但为什么这个聚集着各个年级学生的课室里，好像每一个人都互相认识？作为一名不明所以的大一新生，我只好悄悄地找了一个角落里的位置，乖巧而安静地坐下来了。
几分钟后，这门课的教授拿着两叠纸，一路小跑了进来。简短地自我介绍之后，他就把纸发了下来：每人两张，一张上印了八道练习题，另一张就是白纸。没有讲义，没有课程大纲，甚至他自己连笔记都没有带。十分钟的解题时间就这么开始了。
我自然一题都没做出来。
十分钟后，当受到惊吓的我满心期待地打开笔记本，准备记教授要讲的解题方法时，他很高兴地说：
“今天我想从第四题开始，你们谁对这道题有什么想法？”
教室里的学生们一下子沸腾了。举手的人不少，但是教授竟然让每一个人都发表了自己的想法，并把这些想法全部列在了黑板上。很快就有学生继续举手，顺着黑板上几个比较有前景的思路，继续提出接下来的解题步骤。在教授不时的指导和补充之下，很快黑板上就出现了一个看似有些杂乱却很严谨完整的答案。然而他们的思维速度实在太快，也太跳跃，以至于我只能勉强跟上解题进度，根本没时间去记笔记。
第一节课之后，我得出了两个结论。第一，这些学生可能是一群妖精。第二，这个教授可能也是。
我上过的绝大多数数学课，都有着非常相似的结构：第一节课上，老师会介绍课程大纲和学习方法，让学生对这门课有一个大致的了解。接下来的每一节课老师都会讲解一个新主题，介绍这个领域里的基础定义和定理，然后讲解例题，或者接着上一节课的内容进行拓展和补充。这种严谨且层次分明的教学结构，能够让学生很好地掌握知识体系和内容。在解题方面，老师也会针对这个知识点教授相应的解题方法。多年的传统数学教育让我非常适应这种教学方式，记起笔记来得心应手。
然而这门Putnam Seminar彻底颠覆了我的认知。
在没有讲义和大纲的情况下，我不仅学到了很多新的概念，更见识到了前所未知的解题方法。这些方法不像任何根据特定主题规划的套路，也没有固定的能直接套数的公式。相反，所有这些方法都是学生们创造出来、甚至可能是全新的方法。这样的互动式教学，自然能让学生学到更多。后来我才知道，这种教学方法叫解题式教学（Problem Based Learning），而这个教授，叫罗博深（Po Shen Loh）。
Problem Based Learning，又称解题式教学（以下简称PBL），是一种源于美国六十年代医学院的教学方法，其宗旨在于使用有代表性的例题，由学生来合作提出并搭建解法。这些例题通常没有标准答案，甚至会让人不知从何下手。因此学生们要运用他们学过的知识，而不是固定的解题方法，来开辟解题路径。这种解题体验是非常独特的，对于知识的牢固掌握也特别有效。相较之下，在我上过的大部分大学数学课（特别是数学分析课）中，由于知识量较大，课程进度又非常快，很多知识经常在完全消化之前就被后面的新知识冲过去了。这让我感觉自己对课程知识的掌握并不全面，同时对于运用这些知识来解题也没有足够的实践经验。
而PBL很自然地解决了这个问题。如果难以将知识运用于解题中，那就在解题过程中学习知识。如果对知识的掌握不够牢固，那就将知识放入具体的情景中去理解。更重要的是，解题式教学能让学生跳出固定的思维模式，以更有创造性的方式来思考问题。
在Putnam Seminar上，对于任何一道例题，我们都会提出几种，甚至十几种不同的想法。虽然大部分的想法都是即时的、难以延续的，但是这种创造的过程依然让我受益匪浅，因为它们提供了多种不同的，看待同一个问题的方式。同时，在选出几个最有前景的想法之后，接下来的解题步骤都是由多个学生一人一步地搭建出来的，而不是由提出想法的学生单独完成的。这更加培养了学生的协作能力，也让他们看到了一种想法的多种可能。这些都是难以在传统教学方法中实现的。
这种感受在我上过罗教授的离散数学（discrete math）课之后变得更加深刻。在离散数学课上，罗教授将传统的教学方法和PBL结合了起来，让学生在系统学习知识的同时得到足够多的实战经验。每一节课开始时，罗教授都会先延续上一个主题，或者介绍一个主题里重要的定义和公理，这也是传统的教学方法。随后他就会转向PBL，提出一个例题，指导学生们提出想法，并一起构造出一个答案。在这样的一节课上，我不仅学到了这个主题下的新知识，也巩固和延申了相关领域多个知识点。这样的教学方法，会让我对正在学习的这个领域产生浓厚的兴趣。可以说，我现在选择图论和组合论作为专攻方向，有一部分原因就来自于罗教授的离散数学课。
PBL不仅可以用于高等数学的学习，经过一定的调整，罗教授还把PBL运用到了初等数学的教学上，比如在证明底边为圆的直径的三角形为直角三角形时，就要将思维拓展到多个数学知识，这就是提出问题，然后通过多种方法来讲解知识。
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视频来自罗博深小学数学思维课《平面几何基础》：半圆的三角形
总结下来，解题式教学有着非常显著的优点。在激发学生兴趣的同时，它能够给学生带来宝贵的实战经验，并且从中学到更多的知识。然而，使用PBL的难点也同样显著：要在课堂或家庭教育中运用PBL，对于课程设计和授课水平都是一个非常大的挑战，比起传统的授课方法，老师需要花更多的精力来研究如何选题、如何上课。 PBL若能实施成功，则能起到立竿见影的效果。
正如罗教授一直在跟我们说的一样 ——授人以鱼不如授人以渔，与其用固定的方法快速地解一百题，不如用心地深入思考一题，获得解决新问题的方式。能够锻炼好思维的韧性，就一定能在数学的长跑中比擅长冲刺的选手跑得更长远。
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